矩形势垒 · 指数近似

没有“翻过去”,电子也能出现在另一侧

让粒子能量始终低于势垒高度。先看波函数怎样钻入势垒,再猜一猜:把三个旋钮各调一个固定小步长,哪一个会让透射概率变化得最剧烈?

势能共用能量刻度;下方另叠加振幅包络示意
入射波 势垒 透射尾
矩形势垒隧穿示意 电子能量低于势垒高度,图中只示意主要衰减包络和透射尾,并非满足两界面连续条件的完整散射波函数。 能量 位置 x V₀ = 3.00 eV E = 1.00 eV a = 0.70 nm 透射尾
衰减常量 κ—
指数 2κa—
透射概率近似 T—
T ≈ e−2κa,κ = √[2m(V₀−E)] / ℏ eV → J,nm → m 后计算

先别揭晓:哪种改动最“狠”?

以当前参数为起点,比较三个固定小步长;看谁让 |ln(T新/T原)| 最大。这个量比较的是概率改变了多少个“指数单位”。

请先选一个预测。

为什么宽一点就可能差很多?

在厚垒近似下,主要衰减分量按 e−κx 衰减。有限势垒内精确解同时含增长与衰减指数分量;本图省略反射波并给微小透射尾设最小可见振幅,不可据图读 T。宽度多出一小段,振幅继续乘一个衰减因子;概率则约按振幅平方衰减,所以指数里出现 2κa。

当前 κa = —。—

别把隧穿想成“在墙里偷偷充能” 粒子在势垒内没有获得额外能量;定态问题中能量仍是 E。这里的 T ≈ e−2κa 只用于定性、数量级估算,真实透射率还包含由两侧界面匹配产生的前因子;当 κa 不够大或 E 很接近 V₀ 时,不能把这个近似当成精确答案。