静电势的梯度

圆环轴线上，电势怎样“倾斜”成电场？

圆环上每个微元到轴上同一点的距离都相等，因此电势可以直接叠加。真正值得追问的是：曲线的斜率如何同时给出电场的大小与方向？

电势　V(x)=kQ/√(x²+R²) 电场　E_x=−dV/dx=kQx/(x²+R²)^3/2

先别算，预测两个极限

在圆心 x=0 处 V 有限，E_x=0 V 和 E_x 都为 0 V 最大，E_x 无穷大

当 |x| 远大于 R 逐渐接近点电荷规律 V 保持常量，E_x 严格为 0 与圆心处的场、电势相同

两题都选好后再揭晓。

圆心处各电荷元的轴向电场成对抵消，所以 E_x=0；但电势是标量，全部同号相加，得到 V(0)=kQ/R。远处看不清圆环的尺寸，首要近似就是位于圆心、总电荷量为 Q 的点电荷。

虚线长度均为 s=√(x²+R²)

电势 V 电场 E_x 电势曲线切线轴正向统一取向右

紫色虚线是所选位置处 V(x) 的切线。它向下倾斜时 dV/dx<0，因此 E_x>0；向上倾斜时结论相反。

中心差分得到 dV/dx—

取负号得到 −dV/dx—

解析式给出的 E_x—

同号电荷元的电势作为标量直接相加；电场是矢量，对称微元的轴向贡献在圆心恰好抵消。

分母恒正，所以 E_x 的正负完全由 Qx 决定。正电圆环场线向外，负电圆环场线向内。

当 |x|≫R，V≈kQ/|x|，E_x≈kQx/|x|³。有限尺寸的细节退到更高阶修正中。