从微元到账本
把棒分成 N 段，每段宽 Δx=L/N，取中点 xᵢ 代表该段。
dq = λΔx，rᵢ = √(xᵢ²+y²)
dEₓ = −k dq xᵢ/rᵢ³，dEᵧ = k dq y/rᵢ³
ΣdEᵧ = Σ[kλΔx·y/(xᵢ²+y²)3/2]
Eᵧ = kλL/[y√(y²+(L/2)²)]，方向沿 +y
ELECTRIC FIELD · MIDPOINT SUM
有限带电细棒中垂线场积分实验
把细棒切成许多带电微元，先看一对对称微元怎样“消掉横向、留下纵向”，再用离散求和逼近积分结果。
棒沿 x 轴 · 中点为 O
P=(0,y)，λ>0，y>0
P=(0,y)，λ>0，y>0
先预测：哪一部分会留下？
取位于 +x 与 −x 的等量微元，它们在 P 点产生的电场分量如何合成？
再预测：离得很远时呢？
当 y 远大于 L，整根细棒最接近下面哪个等效模型？
对称微元的分量账本
dE
dEₓ
dEᵧ
先提交预测，然后拖动参数观察证据。
离散求和 ΣdEᵧ
—
中点法，N 个等宽微元
解析值 Eᵧ
—
有限棒积分结果
离散相对误差
—
|ΣdEᵧ−Eᵧ|/Eᵧ
横向总分量 ΣdEₓ
—
数值舍入量级，理论值为 0
N 增大，求和怎样靠近积分？
纵轴是离散相对误差，横轴是微元数 N；圆点标出当前设置。
远场：整根棒会“缩成一个点”吗？
若 y≫L，则棒上各微元到 P 的距离和方向差别都很小，总电荷 q=λL 可近似集中在 O 点。
点电荷近似：E点 = k(λL)/y²
当前距离比：y/L = —
点电荷近似相对误差：—
远场证据尺
—
读图纠错
对称性只说明横向分量为零，并不说明每个微元的电场互相抵消。
±x 微元：dEₓ 大小相等、方向相反 → 成对抵消
±x 微元：dEᵧ 大小相等、方向相同 → 成对叠加
因此 Eₓ=0，但 Eᵧ>0；总场沿中垂线的 +y 方向
最后一关：用数据推翻一个常见误区
先把 N 调到 4，记住误差；再把 N 调到至少 120。解析值会不会随 N 改变？离散误差又怎样变化？
完成两次调节后再核对。当前 N=12。
坐标与电荷细棒位于 x 轴，中心在原点；本实验固定 λ>0、P 在 y>0。
理想化模型细棒均匀、静止且足够细；忽略棒的横截面尺寸和周围介质影响。
近似边界点电荷表达式只在 y≫L 时适用；接近细棒时必须保留有限长度积分。