平均自由程与碰撞频率实验台

先别急着拉滑块

假设其他条件不变，分别预测 λ 和 z̄ 的变化。选错也没关系，关键是看清“路程”和“速率”各受谁控制。

碰撞截面变大，但分子的平均速率不变。

λ

z̄

分子更密，温度与有效直径保持不变。

λ

z̄

分子间距尺度不变，但平均速率会上升。

λ

z̄

每张题卡都要为 λ 和 z̄ 各选一项。

为便于比较，分子取氮分子质量 28 u。轨迹示意不按真实空间尺度绘制。

平均自由程 λ——

平均速率 v̄—由温度与分子质量决定

平均碰撞频率 z̄—z̄ = v̄/λ

追踪分子碰撞位置右侧：32段自由程样本

—

若把其他分子误当静止靶λ₀ = —

考虑双方都在运动λ = λ₀/√2 = —

把其余分子看成静止靶时，会得到 λ₀ = 1/(πd²n)。真实气体里“靶分子”也在运动：对于同温同质量、速度方向随机的分子，相对运动使平均碰撞率比静止靶模型大 √2 倍，因此平均自由程缩短为 λ₀/√2。

注意：πd² 才是硬球模型的几何碰撞截面；不要把 √2 塞进截面的定义里。

下面三句话分别对应最容易混淆的三个层次：单次样本、平均路程、单位时间碰撞次数。

有的分子刚走一点就碰撞，有的能走很远。λ 不是每段轨迹都等长，而是大量自由程的统计平均。

λ = 1/(√2πd²n) 不变；但 v̄ ∝ √T，所以 z̄ 增大。走的平均距离没变，只是走得更快。

n = p/(kT) 减小，故 λ ∝ T 增大；同时 v̄ ∝ √T，最终 z̄ ∝ 1/√T，反而减小。