单摆小角近似误差探索器

同一个初态，两套方程：近似究竟从哪里开始“慢慢走偏”？

模型边界：理想无耗散单摆，摆线无质量且不可伸长，摆球视为质点，重力加速度取 9.81 米每二次方秒。
10.0°
1°输入角度先换算为弧度参与计算60°
1.00 米
0.20 米决定周期的时间尺度2.50 米
快速比较
最大回复项相对误差 0.508% 以 sin θ₀ 为基准
小角周期 T₀ 2.006 秒 只由摆长决定
精确周期 T 2.010 秒 还取决于最大摆角
小角周期相对误差 0.190% 以精确周期为基准

先看源头：把 sin θ 写成 θ

横轴用度数标示，纵轴计算量均为弧度下的无量纲回复项

再让它们一起摆：误差会积成相位漂移

同一初态 θ(0)=θ₀、θ′(0)=0，观察十二个小角周期

拖动查看任意时刻 0.00 T₀

上部两只摆球共用同一悬点；下部曲线的实线为精确数值解，虚线为简谐近似。颜色之外还使用实线与虚线区分。播放只改变观察时刻，不改变理想无耗散模型。

最后量周期：适不适用，要看精度要求

“10°”不是天然分界线；允许误差不同，可接受的角度也不同

小角周期 T₀ = 2π√(ℓ/g)
精确非线性周期 T = 4√(ℓ/g) K(sin(θ₀/2))
1.995 秒蓝：T₀　橙：T2.020 秒

这里的 K 是第一类完全椭圆积分，页面用算术—几何平均迭代计算，并检查参数范围与有限性。周期误差按 |T−T₀|/T 计算。改变摆长会同时缩放 T₀ 和 T，因此不会改变二者的相对误差。

小挑战：实验要求周期误差小于 0.5%

先选一个待判断的最大摆角，再判断小角周期公式是否合适。