刚体力学 · 矢量实验台
陀螺进动：力矩没有把它直接推倒
重力矩主要改变角动量的方向，于是高速自转轴绕竖直方向缓慢转动。拖动参数，盯住 ΔL 接在 L 的哪一端。
矢量图像
角动量 L
重力矩 M
短时增量 ΔL
动画角速度经过显示缩放，以免高速情形闪烁；公式区给出的 Ω 才是近似预测值。虚线新矢量表示 L + ΔL。
为什么公式里没有 θ？
稳定进动时，重力矩与 L 的短时改变量都沿圆锥的切向。比较二者的大小：
|M| = mgr sinθ位置矢量 r 与重力 mg 的夹角给出 sinθ
|dL/dt| = |Ω × L| = ΩL sinθΩ 竖直，L 近似沿自转轴
ΩL sinθ = mgr sinθ再用 L ≈ Isωs
在理想稳定推导中，两边的 sinθ 相同，因此约去，得到 Ω ≈ mgr/(Isωs)。但 θ 接近 0 时，两侧矢量的大小都趋近于零，进动圆锥也退化；此时不能只凭“约分后无 θ”就忽略矢量几何的退化。
这条式子的使用边界
- 快速自转自转时间尺度明显快于进动。
- 对称陀螺自转轴是物体的对称主轴。
- 稳定进动倾角近似保持不变。
- 章动可忽略没有显著的上下点头运动。
低转速提醒：界面的 Ω/ωs 只是观察时间尺度分离的量级线索，颜色分区并非严格阈值。低转速时只应判断“近似可靠性下降，需要完整刚体动力学”，这里不虚构章动频率或失效分界。
先预测，再看公式
其余条件不变，只把自转角速度 ωs 变为原来的 2 倍，稳定进动角速度 Ω 会怎样？
先做一个判断。提示：重力矩不变时，更大的 L 是否更容易改变方向？
模型约定：支点固定，取 g = 9.81 m/s²；L ≈ Isωs 沿对称轴。页面动画用于呈现矢量方向关系，不代替一般欧拉方程的数值解。