大学物理 · 功的微元累加
变力功与路径积分实验台
W = ∫L F · dr
先押一个答案
同一起点 A 到同一终点 B，换一条路，力做的功会相同吗？
拖动彩色圆点改变路径；A、B 始终不动。
黑箭头：力场 白芯箭头：当前微元
控制点可拖动
控制点可拖动
取消勾选可只比两条
切成小段，功就能累加
曲线上每一小段位移记作 dr。把力投影到这小段的切线方向，再乘小段长度，得到 dW = F·dr。所有小段相加并取极限，就是线积分。
F·dr = Fxdx + Fydy → W = ∫(Fxdx + Fydy)
定态力场中，同路反向才变号
本实验的两种力场都只依赖位置 r，不显含时间与速度。固定同一条几何路径并保持同一个 F(r) 时，把方向从 A→B 改成 B→A，每个微元变为 −dr，整段功才严格变号：
∫B→A F(r)·dr = −∫A→B F(r)·dr
别把它套到所有往返运动：若力显含时间或速度，反向运动会改变力，必须按新过程重新代入。滑动摩擦往返时通常两程都做负功，并不会一正一负。