牛顿第二定律 · 微分方程模型

线性阻力下落实验台

松手后，速度不会无限增大。阻力随速度增强，直到它恰好抵消重力——这时小球仍在运动，却不再加速。

运动方程（竖直向下为正）dv/dt = g − (b/m)v

终极速度v_t = mg/b

时间常数τ = m/b

速度如何追上终极值？

v(t) = v_t + (v₀ − v_t)e^−t/τ

速度曲线终极速度

t = 0.00 s

其余量保持不变，只把选中的参数增大 50%。先判断 v_t 和 τ 怎么变。

质量增大 50% 后，会发生什么？

别急着套公式：更重的物体需要多大的阻力才能平衡重力？

终极速度 vₜ

时间常数 τ

请选择两项变化，再检查你的预测。

v_t = mg/b 决定“最后跑多快”，τ = m/b 决定“接近得有多慢”。在 t = τ 时，速度与终极速度之差已经缩小为初始差值的 1/e ≈ 36.8%。

我们规定竖直向下为正，所以重力项为 +g。阻力总与速度反向，因此写成 −(b/m)v：若小球向上，v < 0，阻力项反而为正，方向向下。

终极速度不是“停止”，而是加速度降到零后保持匀速。