阻力模型岔路口：线性阻力与平方阻力对比

线性阻力模型 m dv/dt = mg − bv b 的单位为 kg/s；终速 v_∞ = mg/b

平方阻力模型 m dv/dt = mg − cv² c = C_dρA/2，单位为 kg/m；终速 v_∞ = √(mg/c)

先押一注，再看证据

按默认参数 m=1.00 kg、b=1.20 kg/s、c=0.030 kg/m、g=9.80 m/s² 作答。“更快趋近”指更早达到各自终速的 90%。

预测关

① 默认参数下，哪种模型的终速更大？

② 默认参数下，谁先到达自身终速的 90%？

③ b、c、g 不变，只增大质量 m：两种终速怎样变？

④ 分别增大各模型自己的阻力参数 b 或 c：到达 90% 终速怎样变？

四题都选好后，实验参数才会解锁。

实验台尚未解锁：先完成上面的四项预测。

线性 v(t) 平方 v(t) 虚线：各自终速

默认参数下，两条曲线都从零速度开始并趋近各自终速。

t = 0.00 s

当前速度 v0.00 m/s

瞬时加速度 a9.80 m/s²

终极速度 v∞8.17 m/s

达到 90% 终速1.92 s

解析形式v∞(1−e^−t/τ)

时间尺度 τ0.83 s

当前速度 v0.00 m/s

瞬时加速度 a9.80 m/s²

终极速度 v∞18.07 m/s

达到 90% 终速2.71 s

解析形式v∞ tanh(gt/v∞)

时间尺度 v∞/g1.84 s

两者起步时加速度都等于 g；阻力随速度增长的规律不同，随后曲线才分开。

参数调得合适时，两种曲线在短时间内甚至可能很像。真正的选择依据来自流动状态、速度范围和实验数据，而不是哪条曲线“看起来顺眼”。

候选模型	常见适用线索
F_d = bv	低雷诺数、黏性效应主导，或足够小的速度区间内可近似为线性。
F_d = cv²	较高雷诺数、惯性效应与尾流更重要时，常用平方近似；c 与形状、介质密度和迎风面积有关。

别把两条式子误读成两股阻力 这里把线性模型和平方模型当作不同条件下的两个候选近似，分别计算、分别比较；并不是说真实物体同时受到一股 bv 和另一股 cv² 的阻力。若跨越很宽的速度范围，简单模型都可能需要修正，应由实验或更完整的阻力规律判断。