大学物理 · 平面曲线运动
参数曲线运动学与曲率实验
x(t) = At y(t) = Bt²
先别动滑块：同一时刻速率相同，弯曲一定相同吗？
下面的“同速·缓弯”和“同速·急弯”都把观察时刻设为 1.00 s，并让速率保持 3.00 m/s。先押一个答案。
先留下预测，再用两组同速预设检验。
轨迹与瞬时向量
轨迹
速度 v
加速度 a
金色段表示从 t = −3.00 s 到当前时刻扫过的参数历程，并不等同于“几何曲线的长度”。
P 为当前位置；x、y 轴单位均为米，横纵坐标保持等比例。
速率 v—
切向加速度 aτ—
法向加速度 an—
曲率半径 ρ—
从参数方程读出运动学量
对时间求导，得到速度 v⃗ = (A, 2Bt)；再求一次导数，得到总加速度 a⃗ = (0, 2B)。
v = √(A²+4B²t²) aτ = (v⃗·a⃗)/v an = |v⃗×a⃗|/v ρ = v³/|v⃗×a⃗|
当前代入：等待参数。
注意：aτ 带正负号，负号表示速率正在减小；an 是大小，取非负值。直线运动时 an = 0，ρ = ∞。
把“形状”和“计时”拆开看
轨迹的形状指纹
A > 0 时消去 t：y = (B/A²)x²。同一个 B/A² 给出同一条几何抛物线。
当前位置由时刻选择
参数 t 不只是横坐标标签；它说明质点何时到达轨迹上的哪一点。
弯得急不急看曲率
同一速率下，ρ 越小，轨迹在当前点弯得越急；这与“跑得快不快”是两件事。
结论闸门：哪句话经得住实验？
完成至少一组对照后，再选出结论。
数值保留三位小数；向量箭头为便于观察经过统一缩放，不代表与坐标轴完全相同的长度比例。