第一次分部积分
令 \(I=\int e^x\sin x\,dx\)，取 \(u=\sin x,\;dv=e^x dx\)。
\[I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx\]
积分技巧工作台
多次分部积分与循环分部积分演示器
同一个分部积分公式，在两类积分里有两种节奏：多项式会一路求导到零；三角函数会绕一圈，把原积分带回等式。
表格法：\(\int x^2 e^x\,dx\)
左列连续求导，右列连续积分；每推进一步，就把同一行的两项按正负号相乘并加入答案。
第 1 / 3 步
| 符号 | 求导列：\(x^2\) | 积分列：\(e^x\) | 加入的不定积分项 |
|---|---|---|---|
| + | \(x^2\) | \(e^x\) | \(x^2e^x\) |
| - | \(2x\) | \(e^x\) | \(-2xe^x\) |
| + | \(2\) | \(e^x\) | \(2e^x\) |
| - | \(0\) | \(e^x\) | 停止 |
当前累积结果
循环法：\(\int e^x\sin x\,dx\)
两次分部积分后，原来的 \(I\) 回到右侧。关键不是继续绕下去，而是把它移到左侧。
第 1 / 4 步
第二次分部积分
对 \(J=\int e^x\cos x\,dx\) 再分部，取 \(u=\cos x,\;dv=e^x dx\)。
\[J=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx=e^x\cos x+I\]
代回后出现 \(-I\)
把 \(J\) 的表达式代回第一行，右侧出现了原积分的相反数。
\[I=e^x\sin x-(e^x\cos x+I)=e^x\sin x-e^x\cos x-I\]
移项得到结果
把右侧的 \(-I\) 移到左侧，循环就变成了可解的一次方程。
\[2I=e^x(\sin x-\cos x),\qquad I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\]