随机过程 I · 有限分割
平均六次，也可能一次不差
取 θ=6，只分成六格，每格成功概率就是 1，总数只能等于 6。把分割变细，均值仍是 6，分布却会展开。我们沿着这个变化，看有限模型怎样接近 Poisson 计数。
同一个窗，共 格
Bm ∼ Bin(m, θ/m)
N ∼ Pois(θ)
N ∼ Pois(θ)
均值相同，方差尚不同
| 比较量 | 有限二项 | Poisson |
|---|
每格最多成功一次的限制，压低了二项模型的方差。θ 不变时，增加 m 只改变近似细度。
同一纵轴上的概率质量
Bin(m, θ/m) · 左柱Pois(θ) · 右柱
横向滚动查看 n=0,…,40。选择一对柱，或在“目标次数”中输入整数；竖轴都是“恰好 n 次”的概率。
- 二项：P(Bₘ=6)
- Poisson：P(N=6)
- 两概率之差（二项 − Poisson）
小格里仍可能出现两次
Bernoulli 格子把“多次”排除了；真正的 Poisson 小格没有这个限制。记 a=θ/m，下面三个量说明这种差异怎样随分割变细而消失。
| 一格至少两次 1−e−a(1+a) | |
|---|---|
| 整窗至少一格多次 1−[e−a(1+a)]m | |
| 并集概率上界 m × 单格概率 |
复算公式与边界
有限模型的概率是 C(m,n)(θ/m)ⁿ(1−θ/m)m−n，当 n>m 时为 0；Poisson 概率是 e−θθⁿ/n!。θ=0 时二者都集中在 0；m=θ 时每格必成功，二项总数恒为 m。
柱图只展示前 41 项，n>40 的概率另列，没有把可见部分重新缩放为总和 1。小格多次事件的整窗公式来自各格独立；并集上界可以大于 1，它是一个上界表达式，不是概率本身。