随机过程 I · 路径观测台
同一个模型，两种观察
“第 n 个时刻在哪儿”是一份概率分布；“这一路待过多久”来自一条真实路径。把两者放在一起看，周期链的振荡和吸收链的分岔就不会混在同一句“长期比例”里。
模型与当前时刻
精确 μₙ单路径频率 Vᵢ(N)/N唯一平稳分布 π
实际走过的一条路径
展开 X₀ 到 XN−1 的完整记录
沿时间比较同一个状态
精确概率 μₙ(i) · 蓝色实线样本频率 · 橙色虚线πᵢ · 绿色点线
把两次访问之间当作一个周期
从第一次访问所选状态开始计算完整回返间隔。相邻两次访问的差是周期长度；自环会产生长度为 1 的周期。
访问时刻与完整间隔
展开所有回返时刻与间隔
- 样本中的完整周期数
- 完整周期的样本平均
- 理论平均回返 1/πᵢ
- 访问次数 / 观测数
计数与复算约定
精确分布按 μₙ₊₁=μₙP 递推。样本路径使用种子伪随机数逐行抽样，和分布递推分开计算；N 改变时从同一个种子重放，因此早先记录不会被替换。频率的分母是 N，计入时刻 0。
回返统计只用已观测到的记录。如果相邻两次访问在 a、b，完整周期长度是 b−a；第一次到达之前的等待和最后一次访问之后的尾段都不混入完整周期平均。没有完整周期时显示“尚未获得”，不会写成 0。
理论式 EᵢTᵢ⁺=1/πᵢ 在此仅对有限不可约模型显示。纯环虽然有周期，长期频率仍成立；s=1 或两个吸收出口都要按闭类分别讨论。