随机过程 I · 平稳分布实验
解方程，再看分布怎样走
先从状态 0 出发，走一步看看。蓝色分布会移动；绿色平稳解由方程独立算出。它们是否靠近，要检查链的结构，不能只看一步前后的变化小不小。
不变分布来自方程
νP = ν，Σνᵢ = 1，νᵢ ≥ 0
逐步迭代与累计平均
μₙ = μ₀Pⁿ
aN = (μ₀+⋯+μₙ)/(n+1)，N=n+1
aN = (μ₀+⋯+μₙ)/(n+1)，N=n+1
时刻分布 μₙ分布平均 aN独立平稳解 π
橙色是分布的平均，不是一次随机运行的样本频率。n=0 时平均只有 μ₀ 这一项。
- 时刻残差 ‖μₙP−μₙ‖₁
- 到唯一 π 的距离 ‖μₙ−π‖₁
- 平均残差 ‖aNP−aN‖₁
- 平均到 π 的距离 ‖aN−π‖₁
误差会沿着怎样的路线变化
‖μₖ−π‖₁，实线‖ak+1−π‖₁，虚线
先作一个判断：一步残差很小，能据此认定已经接近平稳分布吗？
复算方式与边界约定
四状态链在边界 0 必到 1，3 必到 2。令 q=1−p，逐边详细平衡给出的权重是 (q²,q,p,p²)；将这四个权重除以它们的和，便独立得到平稳解。这里的归一化用于构造方程解，没有修改用户输入。s<1 时，惰性因子可从平衡关系中约去。
迭代逐次执行行向量乘矩阵，不把最后一轮迭代冒充平稳解。s=1 时每个状态都是闭类，全部概率向量都平稳；此时没有唯一 π，距离曲线和“到唯一 π 的误差”都不定义。慢链固定 ε=10⁻⁶，仅起点与步数可调。