微积分 II · 泰勒级数与函数近似

误差与积分近似实验

围绕非初等积分 ∫₀ᵇ e^-x² dx，观察泰勒多项式逐项积分后的近似值，以及“下一项”什么时候能成为可靠的交错级数误差上界。

e^-x² = Σ_k=0^∞ (-1)^k x^2k / k! S_n(b) = Σ_k=0ⁿ (-1)^k b^2k+1 / ((2k+1)k!)

函数面积与多项式近似面积

坐标纵轴会随多项式极值调整，便于看见截断造成的摆动。

真实函数面积多项式正面积多项式负面积

把图和余项估计连起来

先展开

e^-x² 的 Maclaurin 级数符号交替，变量从 x 变成 x² 后，幂次只出现偶数。

再逐项积分

在固定区间上可把多项式逐项积分，得到 S_n(b)；这就是图中橙色 signed area 的数值。

最后看余项

只有从第一项遗漏项开始，项大小已经递减时，交错级数的“下一项”才可以直接控制误差。