实分析 I · 子列、Cauchy 数列与 Bolzano-Weierstrass 定理

limsup / liminf 探索器

选择一个有界数列，拖动尾段起点 N。图中只改变“从第 N 项以后”的观察方式：尾部上确界记为 s_N，尾部下确界记为 i_N。

点列与尾部界线

灰点是前缀，深色点属于当前尾段；竖线标出 N。

s_N i_N limsup liminf
数列点列、尾部上确界和尾部下确界图 横轴为项数 n，纵轴为 a_n。拖动 N 后，尾段点和四条水平参考线会更新。

定义读法

s_N = sup {a_n : n ≥ N}，当 N 右移时，可选择的尾段变小，所以 s_N 单调不增并趋向 limsup a_n。

下确界读法

i_N = inf {a_n : n ≥ N}，尾段变小时下界可能抬高，所以 i_N 单调不减并趋向 liminf a_n。

子列视角

图中的上下极限是子列极限的最上端与最下端。若二者相等，原数列才可能收敛到同一个数。