xy 投影区域 D
拖动三角形内的点，或用滑块选择 (x,y)。边界 x + y = 4 是平面落到 xy 平面上的影子。
当前点
(1.50, 1.50)
高度 h
1.00
z 线段
0≤z≤1.00
第 16 章 · 三重积分：空间区域中的累积
从投影区域读出一般空间区域的上下限
区域 E 位于第一卦限，被平面 z = 4 - x - y 与 xy 平面夹住。先在投影 D 中固定 (x,y)，再沿 z 方向看这一根竖直线段。
E: x≥0, y≥0, z≥0, x+y+z≤4
空间区域中的一根竖线
固定投影点后，三重积分内层就是从地面 z = 0 积到平面 z = 4 - x - y。
在 (1.50, 1.50) 处，平面高度是 4 - 1.50 - 1.50 = 1.00。
这根线段的长度就是内层积分的 z 方向累积范围。
限式生成器
同一个 E，可以先看 xy 影子，也可以先看 yz 影子。外层变量换了，区域没有换。
xy 投影给出的限式
dz dy dx
E = {(x,y,z): 0≤x≤4, 0≤y≤4-x, 0≤z≤4-x-y}
∫04 ∫04-x ∫04-x-y f(x,y,z) dz dy dx
- x 先从 0 走到 4，扫过投影三角形的底边。
- 固定 x 后，y 从 0 到 4 - x，停在斜边 x + y = 4。
- 固定 (x,y) 后，z 从 0 到 4 - x - y，正是左侧红色竖线段。
D = {(x,y): 0≤x≤4, 0≤y≤4-x}。当前点在 D 中，红色高度来自上方平面。
当前取点：(1.50, 1.50)，
所以竖直上下限为 0≤z≤1.00。