二项分布的期望线性性与方差

调节重复试验次数和单次成功概率，观察成功次数 X 的概率摘要。

X ~ Bin(12, 0.40)

成功次数的概率柱

最高柱显示最可能的成功次数
二项分布概率柱状图 横轴是成功次数 k，纵轴是概率 P(X=k)。

为什么 E(X)=np

把总成功次数拆成 n 个指示变量：第 i 次成功时 Ii=1，失败时 Ii=0。于是 X=I1+I2+...+In。

E(X)=E(I1+...+In)=E(I1)+...+E(In)=p+...+p=np

期望的线性性允许逐项相加；独立性则用于方差相加，所以 Var(X)=n p(1-p)。

当前参数摘要 12 次独立试验中，每次成功概率 0.40，成功次数平均约为 4.80 次，典型波动约为 1.70 次。