当前点的夹逼
\(|r\sin(2\theta)|\le r\)
函数值 f0.000
绝对值 |f|0.000
上界 g(r)0.000
占上界比例0%
无论当前 θ 怎样变化，红色条都不会超过绿色上界条。
多变量极限与连续
极坐标夹逼演示器
拖动半径 \(r\) 和角度 \(\theta\)，观察函数值如何被只依赖 \(r\) 的量统一压住。真正的证明不是检查几条射线，而是让所有方向同时落进同一个趋零夹逼带。
平面中的极坐标点
上界 g(r)=r半径 r1.15
角度 θ35°
x=r cosθ0.942
y=r sinθ0.660
所有方向同时检查
扫过 0 到 2π横轴扫过所有 θ，红线始终留在绿色夹逼带中；当 r 变小，整个夹逼带一起收缩到 0。
证明读法
1. 换成极坐标
把靠近原点写成 \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)，其中 \(r\to0^+\)，方向 \(\theta\) 可以任意变。
2. 找到统一上界
因为 \(|\sin(2\theta)|\le1\)，所以 \(|r\sin(2\theta)|\le r\)。这里的右端不含 \(\theta\)。
3. 让上界趋零
当 \(r\to0\) 时，\(r\to0\)。于是由夹逼定理，原函数极限为 0。
只看固定方向不够：某些方向上函数可能恒为 0，但换一条方向会变大。可靠证据是同一个 \(g(r)\) 管住所有 \(\theta\)。