从 f(y) 的符号读自治方程相线

看 y 轴上的速度符号,不需要先求显式解。 对自治方程 y' = f(y),零点给出平衡解,符号决定解沿相线向上还是向下流动。

y' = y(1-y)

函数图 f(y)

横轴是 y,纵轴是速度 f(y)。曲线在横轴上方表示 y' > 0,相线向上。

竖直相线

箭头方向只由所在区间的 f(y) 符号决定;平衡点处速度为 0。

读法:先找 f(y)=0 的 y 值,再看每个相邻区间曲线在横轴上方还是下方,把这个符号直接翻译成相线箭头。

f(y) > 0,y 向上 f(y) < 0,y 向下 当前 y