候选解验算 · 解析式与图像

候选解要通过哪些检查

一条曲线看起来像热在扩散，未必就解对了热方程；代回方程为零，也未必满足题目给的初值。选一个候选解，把方程、边界和起始数据分别核对。

方程模型

候选函数

扩散系数 κ（0.2—3）

当前候选解

观察时刻 t（0—2）

探针位置 x（0—1）

此刻的空间曲线

候选解 u参考解 u* · 虚线

两条曲线重合只说明当前形状相同，不能替代逐项验算。

u(x,t) · 候选

u*(x,t) · 参考

u_t(x,t)

u_tt(x,t)

u_xx(x,t)

方程残差 R(x,t)

下面的“通过”来自候选函数的解析恒等式，要求在相应区间处处成立。热图只负责显示这些式子的取值。

查看当前解析依据

初值 / 初位移误差初速度误差 · 虚线

误差统一按“候选值 − 题目给定值”计算。这里画的是 t = 0 的数据，不随观察时刻改变。

边界条件

初值 / 初位移

初速度

这些最大值由 |sin(πx)| ≤ 1、常数偏移等解析关系直接得到，并非从图上的有限个点估计。