稳态导热 · 边界实验

边界怎样改变杆内温度

同样一根杆，右端温度固定、包上隔热层、放进会交换热量的环境，算出的温度会不同。把边界换掉，看看曲线的斜率和热流怎样一起改变。

−k u″ = s，0 < x < L；u(0) = T_L，q = −k u′

右端边界

杆长 L（0.5—3）

导热系数 k（0.2—4）

均匀源项 s（−20—40）

左端温度（−10—60）

右端温度（−10—60）

参数为一致的无量纲量。s > 0 表示内部产热，s < 0 表示内部吸热；q > 0 才表示热向右流。

杆内温度

曲线来自解析解；圆点为当前探针，橙色菱形为区间内部的驻点。纵轴随温度范围调整。

探针位置 x

探针温度 u(x)

探针热流 q(x)

全杆最高温度

全杆最低温度

实线箭头只表示热流方向，长度不表示流量。外法向固定为左端向左、右端向右；向外热流为负，表示热从该端流入。

位置	向外热流	当前含义
左端 x = 0 外法向 n = −1
右端 x = L 外法向 n = +1

u(x) = T_L + Bx − sx²/(2k)

这里的最高、最低温度由两个端点和区间内的驻点逐一比较得到，不靠网格采样猜测。收支误差只剩浮点舍入量；它应当远小于热流本身。