调和函数 · 两张检查单

方程对了，边界也对了吗？

正方形里的参考解是 u=x。给它添上一点形状，看看变化出现在方程里，还是边界数据里。两件事都查清，才轮得到唯一性定理。

v=x+C+εH+qb，w=v−u
H=sin(πx)sinh(πy)/sinh(π)
b=x(1−x)y(1−y)

候选解 v

颜色取蓝负、白零、橙正，各图使用自己的对称色标。拖动热图中的十字观察点，或聚焦后用方向键移动；两图同步。

边界最大差 δ（精确）

中心差 w(½,½)

全域平均差

观察点的差 w

观察点 Δv

观察点 ∇w

顶边：C+ε sin(πx)其余三边：C

横轴沿各边从 0 到 1 取参量 s；三条常数边重合。最大绝对差由 C 和 C+ε 中绝对值较大者给出。

表中只是四个中点的读数。是否满足整条边的数据，根据完整解析表达式判断，不用这四个点代替全部边界。

为什么“内部极大值处 Δv≤0”还不够？

Δv≤0 与 Δv=0 并不矛盾。最大值原理依靠调和函数在整个内域成立的性质；例如圆周平均值性质会迫使取得内部最大值的调和函数在邻域内恒定。

这里的区域有界，候选函数在闭正方形上连续且内部光滑。当 q=0 时，差 w 调和，可用 |w|≤边界最大差。q≠0 时 Δw 不再为零，不能套用这个结论。

“减去差的均值”只修改常数 C，不改变梯度和拉普拉斯量。如果 ε 或 q 不为零，去掉均值仍不会自动恢复同一组方程与边界数据。

Δv=−2q[y(1−y)+x(1−x)]
平均差=C+2ε tanh(π/2)/π²+q/36