波方程 · 有限区间的能量账本

能量从哪一端进出？

一列行波穿过观察区间时，区间里的能量可以变化。看两端的功率，再核对能量增量：它们应当记在同一本账上。

u=A cos[k(x−ct)] + B cos[k(x+ct)+φ]
E=½∫(uₜ²+c²uₓ²) dx

波形与端点运动

实线是 u(x,t)，圆点是端点当前位移。端点位移为零的某个瞬间，并不代表它始终固定。

左端功率 Pₗ

右端功率 Pᵣ

功率取正表示能量流入区间，取负表示流出。左右两端的外法向方向相反，因此公式的符号也不同。

动能 K

弹性能 V

总能量 E

净输入功率 E′

从 t=0 累计：左端功

从 t=0 累计：右端功

能量增量 E−E(0)

账本余差 ΔE−Wₗ−Wᵣ

总能量密度虚线：动能密度点线：弹性能密度

E(t)虚线：E(0)+两端累计功两端累计功之和

边界功率为什么要乘斜率和速度？

把波方程 uₜₜ=c²uₓₓ 乘以 uₜ，在区间上分部积分，内部项正好组成动能和弹性能的变化率。留下的是端点项：

E′=c²uₜ(L,t)uₓ(L,t)−c²uₜ(0,t)uₓ(0,t)
Pᵣ=c²uₜ(L,t)uₓ(L,t)
Pₗ=−c²uₜ(0,t)uₓ(0,t)

固定端的速度为零，自由端的斜率为零，两种情况都会使端点功率为零。一般移动边界则没有这个保证。

端点	uₜ	uₓ
左端
右端

图和读数直接用解析式计算，没有按像素或网格近似积分。账本余差的极小非零值来自浮点运算；参数采用无量纲尺度。