热方程 · 量与起伏
留下的是平均温度
把两端保温，温度会慢慢变得均匀，却不一定降到零。改动平均温度 C，看看总量、能量和起伏中的哪一个跟着改变。
uₜ = κuₓₓ E = ½∫u² dx M = ∫u dx
温度剖面
实线：当前温差虚线：初值点线：当前平均值
总量 M
当前平均值 M/L
能量 E
起伏能量 ½∫(u−平均值)²
耗散 D = κ∫uₓ²
能量变化率 E′
总量变化率 M′
可衰减部分的上界
能量怎样下降
绝热时勾选，比较全能量与起伏；取消勾选，纵轴会放大到起伏的尺度。零端值时，可衰减部分就是全能量。
实线：可衰减部分虚线：第一模态速率给出的上界紫色：全能量 E
哪一模态先消失？
实心：当前模态能量轮廓：初始模态能量
每个非恒定模态的能量为 L aₙ²/4。横轴 n 是模态编号；常数背景另计入总能量，不画在这三个柱子里。
为什么绝热时要减去平均值？
绝热端没有热流穿过，M′=κ[uₓ(L)−uₓ(0)]=0，因此平均温度 C 保持不变。此时 E=LC²/2+起伏能量。指数估计控制的是后者；除非 C=0，否则总能量不会趋于零。
零端值时 E′=−D≤0，但 M′ 由两端斜率决定。有正有负的温差叠加时，不该把“能量下降”换成“带符号的总量单调下降”。零端值图中的起伏能量采用当前平均值计算，仅供比较；它不等于用于指数估计的 E。
kₙ=nπ/L，aₙ=Aₙe^(−κkₙ²t)
D=κL/2 Σ kₙ²aₙ²
零端值：E ≤ E(0)e^(−2κπ²t/L²)
绝热：起伏能量 ≤ 起伏初值 e^(−2κπ²t/L²)
D=κL/2 Σ kₙ²aₙ²
零端值：E ≤ E(0)e^(−2κπ²t/L²)
绝热：起伏能量 ≤ 起伏初值 e^(−2κπ²t/L²)