显式热差分 · 追踪一个高频误差

小误差怎样长大

初值里藏着振幅很小的网格高频。热方程会迅速抹平它，差分格式却可能把它逐步放大。推进几层，把数值节点与连续精确解放在一起看。

Uⱼⁿ⁺¹ = rUⱼ₋₁ⁿ + (1−2r)Uⱼⁿ + rUⱼ₊₁ⁿ　　r=κΔt/h²

节点折线与连续精确参照

折线与圆点：差分值实线：连续精确解虚线：恒温边界基线 g

时间 / 步数

r 与三个权重

节点最大误差

数值最小值 / 最大值

左端 / 右端（每层重设）

ρ低 / ρ高

实线：实际节点投影虚线：ερ高的步数次方连续精确高频

实际高频投影 / 离散预测

连续精确高频

固定 ε=0、κ=1、a=b=0、A=1 和 r=0.25，分别把 M=20 与 M=40 推进到同一个时刻 t=0.04。

尚未比较。按下按钮后会完成两次实际数组推进，并把主图留在 M=40 的终止状态。

为什么平滑图形还不能证明格式稳定？

离散正弦模态的放大因子是 1−4r sin²(mπ/(2M))。高频 m=M−1 的因子可能为负，扰动会一层一层变号；绝对值大于 1 时，它的幅值还会增长。

r≤1/2 是对任意细化网格通用的标准充分稳定、保极值限制。固定有限 M 的模态谱界可以稍大于 1/2。即使某个网格有不稳定模态，没有明显激发它的初值也未必立刻显现增长；舍入误差仍可能在后续激发它。