边界提升 · 强迫模态的解析账本

边界、源项各贡献了多少

把端点温度连成一条基线 g，剩下的部分 v 才满足零边界。若两端一起升温，基线也在随时间改变；这项变化必须进入方程。

uₜ − κuₓₓ = Q sin(kx)　　k=nπ/L　　u=g+w+y(t)sin(kx)

温度 = 边界基线 + 零边界余量

u：总温度g：端点连线v：零边界余量虚线：初值 f

u(0,t) / 指定左端值

u(L,t) / 指定右端值

λ = κk²

当前 x 与 u(x,t)

y(t)：两项之和初始：A exp(−λt)源项：Q(1−exp(−λt))/λ

原方程残差 uₜ−κuₓₓ−q

变换后的右端 q−gₜ

在账本中对照一次“漏写 −gₜ”

这组公式怎样保证方程和初值都一致？

g = a₀+(b₀−a₀)x/L+Rt
w = R x(x−L)/(2κ)
y = A exp(−λt)+(Q/λ)(1−exp(−λt))
v = w+y sin(kx)
f = a₀+(b₀−a₀)x/L+w+A sin(kx)

因为 gₜ=R、gₓₓ=0，而 κwₓₓ=R，所以 v 的方程右端是 Qsin(kx)−R。w 的端点为 0，正弦模态的端点也为 0，边界值便由 g 单独承担。