FOURIER · 积分误差账本

某一点贴住了，整体就更准吗？

把几个正弦波合起来，试着贴近目标曲线。手动调好后，取一次正交投影：它优化的是整个区间的平方误差。

目标与有限近似

目标 f近似 P

误差落在了哪里

正负误差都要平方后计入账本，不能让它们相互抵消。

第 n 个形状是 sin(nx)。灰色控件不参与当前近似，相应系数按零计算。

“只贴住中点”会切换到 f=x、K=1，并取 d₁=π/2。

误差 = 无法消除的部分 + 系数偏离的代价

当前 K 的最优误差偏离投影的额外误差

每个模态：已有多少，还缺多少

应有的 bₙ已有的 dₙ
nbₙdₙ残差内积

最后一列是 ⟨f−P,sin(nx)⟩ = (π/2)(bₙ−dₙ)。取投影后，所有保留方向上的残差内积同时为零。

E² = ∥f∥² − πΣdₙbₙ + (π/2)Σdₙ²
E² = E²最优 + (π/2)Σ(dₙ−bₙ)²
核对三种目标的积分数据

三角初值 f=min(x,π−x)：∥f∥²=π³/12，bₙ=4sin(nπ/2)/(πn²)。

斜坡 f=x：∥f∥²=π³/3，bₙ=2(−1)ⁿ⁺¹/n。

抛物线 f=x(π−x)：∥f∥²=π⁵/30；奇数 n 时 bₙ=8/(πn³)，偶数 n 时为零。