偏微分方程 I · 第 04 章 · 初温投影与热衰减

同一幅初温，由哪些正弦形状组成？

让时间停在零，增加截断阶数，看正弦和怎样接近初温。再让时间向前走：每一项仍然是原来的空间形状，系数却按不同的速度缩小。

u_N(x,t) = ∑_n=1^N b_n sin(nπx/L) e^−n²π²τ
本实验约定 τ = κt/L²，横轴 r = x/L

初温与当前截断和

给定初温 f有限和 u_N

观察点 r = x/L

拖动图上的竖线，或用滑块的方向键移动。

正系数负系数

柱高是 aₙ(τ) = bₙe^−n²π²τ；纵轴固定为当前初温的尺度，便于看见衰减。空心小点表示零系数。

查看模态 n

增加 N，是在固定时间下补上更高阶的空间信息。增加 τ，是让已有模态继续衰减；第 n 阶的指数里带着 n²，所以细小起伏消失得更快。图里的实线始终只是有限部分和，没有被当成精确的无限级数解。

E_N = ½∫₀ᴸu_N² dx = (L/4)∑_n=1^Nb_n²e^{−2n²π²τ}

这个量衡量当前截断和的平方起伏，它不是总热量 ∫u dx。在 τ = 0 的不兼容端点附近，增加 N 仍能看到 Gibbs 起伏；不要把截断和的过冲解释成热方程把金属杆加热了。