把边界装置和扩散尺度分开比较
同一初温，最后会留下多少热？
两根杆都从 f(r) = sin²(πr) 开始，其中 r = x/L。定温端点允许热量流出；绝热端点留住平均温度。换一组边界，再比较两根杆的长度。
在同一把坐标尺上看温度
杆 A杆 B初温
两条曲线的横轴都是相对位置 r，不是实际长度。虚线 B 与实线 A 重合时，会露出两种线型。
整根杆的平均温度
杆 A
长度条共用标尺，满格对应 L = 3。
- 实际时间 tA
- 无量纲时间 τA
- 平均温度
- 左端导数 ux(0,t)
- 右端导数 ux(L,t)
- 尺度 L²/α
- 温度尾项误差界
杆 B
长度条共用标尺，满格对应 L = 3。
- 实际时间 tB
- 无量纲时间 τB
- 平均温度
- 左端导数 ux(0,t)
- 右端导数 ux(L,t)
- 尺度 L²/α
- 温度尾项误差界
初温在两端的值和一阶导数都为零，能满足这里两类边界的初始约束。这不等于已经核对了所有高阶角点相容条件。定温读数是级数截断后的近似；在 t = 0 附近，端点导数可能有较明显的截断残差。
读数是怎样算出来的？
无量纲时间把长度和材料收进同一个变量：
τ = αt/L²
两端绝热时，只有常数模态与第二个余弦模态：
uN(r,τ) = ½ − ½e−4π²τcos(2πr)
它的平均值始终是 ½，端点导数始终为零。两端定温为零时，用正弦模态：
uD(r,τ) ≈ Σn=1…N bnsin(nπr)e−n²π²τ
bn = −8/[πn(n²−4)]（n 为奇数）；偶数项为 0。
平均值对每个正弦项直接积分，得到 Σ 2bne−n²π²τ/(nπ)。端点空间导数则对每项求导，并乘上 1/L。这里显示的是温度导数；真实热流还需要导热系数 k，不能把扩散率 α 当作 k 使用。
当 N ≥ 20 时，一个保守的温度尾项界为：
|尾项| ≤ 4e−(N+1)²π²τ / {πN²[1−4/(N+1)²]}
这个界也能界定平均值误差，但不能直接用作端点导数误差界。初始曲线的精确平均值是 ½；定温有限和在 τ = 0 的平均值会与它略有出入。
这里直接计算解析模态，没有使用有限差分时间步进。数值为统一缩放后的温度与参数；曲线随时间的变化反映热方程模型，而非某种具体材料的实测记录。