一瞬间的局部守恒

热在向右流，温度也能上升

取出杆里的一小段，分别记左边进了多少、右边出了多少。热流方向由斜率决定，温度变化由这份收支决定。

u(x) = 20 + bx + cx²，0 ≤ x ≤ 1；q = −k u_x

温度曲线与选中的微元

当前温度微元范围

箭头表示热流方向。右端的流入功率记作 −q_R，所以向右流过右端会带走热量。

一次项 b

二次项 c

微元中心 x₀

微元宽度 Δx

导热系数 k

体积热容量 H

体热源 s

这里使用统一缩放后的量与参数，截面积 A = 1，H 对应 ρc。负的 s 表示内部吸热；这些数值不是某种真实材料的测量值。

左端流入 q_L

右端流入 −q_R

内部热源 sΔx

净输入功率

为什么改变微元宽度，不改变这里的温变率？

二次剖面的曲率处处相同：u_xx = 2c。于是 q_L − q_R = 2kcΔx，而热源功率是 sΔx。除以微元热容量 HΔx 后，宽度恰好约掉，得到 (2kc + s)/H。移动微元也不改变这个值；一般剖面没有这样的简化。

改变 b 不会改变曲率，却可能改变热流方向。这正好把“正在往哪里流”和“此处是否变热”区分开。

这是给定温度剖面在这一瞬间的收支核对。图中的曲线不会自动随时间演化，也没有指定整根杆的边界装置；“线性稳态”只表示此刻局部无源收支为零。