微积分 II · 无穷级数：从部分和到收敛

p 级数与调和级数的部分和实验

p=1 分界

部分和曲线

Sₘ = 1 + 1/2ᵖ + 1/3ᵖ + ... + 1/mᵖ

当前 p 与 p=1 参考对照
p 级数部分和曲线 横轴是项数 m，纵轴是部分和 S_m，实线表示当前 p，虚线表示 p=1 的调和级数参考。
当前 p 的部分和 p=1 调和参考 p=1 是分界

最后一项正在变小

0

无论 p 是否大于 1，1/kᵖ 都会随着 k 增大而趋近 0。

小项合起来仍可能不少

0

看 n/2 到 n 这一段新增的面积，判断曲线是否还在抬升。

收敛判断看累积

p=1

p=1 是分界：左侧和边界继续增大，右侧趋于稳定。

单项 1/kᵖ 的下降

柱子从左到右取不同的 k。右端柱子很矮时，仍要看这些小项的总累积。

柱高按相对大小显示。

项 1/kᵖ 趋近 0 只是级数收敛的必要条件；调和级数 p=1 的项也趋近 0，但部分和仍会继续增大。