插值 · 分段表达与整体联系

接头光滑，影响却未必局部

折线只在相邻数据之间搭一段直线。自然三次样条还要把一阶、二阶导数接起来；这组共同的条件，会把一个读数的改动传到远处。

自然三次样条分片线性原始自然样条

节点只沿纵向移动，一般允许 −4 到 6；单点扰动例的 δ 限于 [−2,2]。用节点选择器、数值框或图上的上下方向键也能改动。绘图纵轴固定为 [-5,7]，拖动不会让坐标跟着抖动。超出图窗的部分真实裁剪。

查询 x
自然样条 S(x)
分片线性 P(x)

接头两边分别算一次

检查量左段到接头右段从接头右 − 左

各段多项式与共同求出的 M

第 j 段写成 a+b t+c t²+d t³，t=x−xⱼ。下面是实际求出的系数。

区间abcd

改动前后的差，传到了哪里？

自然样条的改变分片线性的改变

位置样条改变折线改变

远处两个端点没改，整段就不变吗？

切到“只改一个读数”，只让 x=1 的数据等于 δ。检查 [2,3]，尤其是 x=2.5。

自然边界要求两端二阶导数为零，不强制端点斜率为零。所有查询都限制在数据区间内；区间外会明确拒绝，不偷偷延长边界段。样条的值来自本段公式，但各段系数来自同一组三对角方程。