残差一样小，答案会一样准吗
A = diag(1, ε)，b = (1, 0)，精确解 x = (1, 0)。
°
- 真解 x
- (1, 0)
- 计算解 x̂ = x − A⁻¹r
- 残差 r = b − Ax̂
- 解误差 e = x − x̂ = A⁻¹r
- 相对残差 ‖r‖₂ / ‖b‖₂
- 实际相对解误差 ‖e‖₂ / ‖x‖₂
- 条件数 κ₂(A) = 1/ε
- 条件数上界 κ₂(A) · η
- 本次放大率 ‖e‖₂ / ‖r‖₂
实测大小与保证的上界
选择残差方向
当前残差方向
经过逆矩阵以后
实际误差方向最大长度参考圆
细轴并没有消失
这里只放大椭圆中部的小窗口。椭圆上下两端在窗口外；局部图不代表整个椭圆的长宽比。
r = η(cos θ, sin θ)，e = (η cos θ, η sin θ / ε)。
真解和右端的 2-范数都等于 1，所以本例的绝对大小与相对大小数值相同。上界给出可能的最大误差；当前方向未必达到它。
换方向前，判断最不利的位置
看 A⁻¹ 怎样改变两个分量，再转动方向验证。
这里人为选定残差，再构造对应的计算解，用来检查残差界。它没有模拟某个求解算法，也不能靠一个算例证明算法稳定。