泛函分析 I · 章节 01 · 二维实验
范数单位球：同一个向量，三种“长度”
单位球不是总会长成圆。它取决于你用什么方式衡量向量的大小。把一个向量放进三套规则里，几何图形会替抽象定义说话。
先猜一猜
不动用计算器：当半径固定为 1、角度从 0° 转到 45° 时，哪一种范数的长度会变大？哪一种会保持不变？想一想对应的单位球，边界在坐标轴方向和对角线方向分别离原点多远。
动手操作
拖动两个滑块，或聚焦滑块后用方向键微调。图中的红色向量在三块坐标图里始终是同一个 v。
范围 −180° 到 180°；方向改变，长度公式不变。
r = 0 是原点；r = 1 是欧氏单位圆上的边界。
正在读取当前向量状态。
虚线坐标轴的刻度范围约为 −1.6 到 1.6；彩色边界都是对应范数的单位球。
ℓ₂ · 圆
1.000√(x² + y²)在边界上ℓ∞ · 方形
0.707max(|x|, |y|)单位球内观察结果
把半径固定在 1，慢慢转动角度：ℓ₂ 的读数不动，因为欧氏长度只看向量到原点的距离。ℓ₁ 在对角线方向达到较大值，ℓ∞ 则在坐标轴方向更接近 ℓ₂。
当某个读数等于 1，红点落在那一种范数的单位球边界上；读数小于 1 就在球内，大于 1 则在球外。这里的“球”是由不等式 ‖v‖ ≤ 1 定义出来的区域，不必是圆。
v = (x, y) = (r cos θ, r sin θ)
‖v‖₁ = |x| + |y|
‖v‖₂ = √(x² + y²)
‖v‖∞ = max{|x|, |y|}
解释：形状来自“怎么数”
ℓ₁ 把两个坐标的绝对值相加，所以边界满足 |x| + |y| = 1，在四个象限拼出菱形。ℓ₂ 把坐标平方后相加再开方，得到熟悉的圆。ℓ∞ 只关心绝对值较大的那个坐标，于是 |x| ≤ 1 且 |y| ≤ 1，边界就是方形。
这三个范数在二维空间里给出不同的几何外观，但它们都满足范数的基本性质：非负、齐次、三角不等式，并且只有零向量的长度为零。后面讨论一般 Banach 空间时，单位球仍然是理解范数的好入口。