常微分方程 I · 一阶线性系统与矩阵方法

矩阵指数把初始状态推进到未来

对线性系统 x'(t)=Ax(t)，状态由 x(t)=e^{At}x(0) 给出。选择一个二维矩阵，移动时间和初始点，观察轨线怎样被矩阵指数连续推进。

x'(t)=Ax(t) x(t)=e^{At}x(0) e^{At}=I+At+(At)^2/2!+...

相平面中的状态轨线

推进轨线 当前状态

当前矩阵指数

A 为对角矩阵时，e^{At} 只在对角线上出现指数项。

-0.70 0.00 0.00 -0.18

A = [[-0.70, 0.00], [0.00, -0.18]]

0.2466 0.0000 0.0000 0.6977

e^{At} 随 t 改变；它是一个整体线性变换，不是对 A 的四个格子分别取指数。

状态推进结果

x(0)[2.40, 1.50] x(t)[0.59, 1.05] ||x(t)||1.20

若逐项取指数，0 会变成 1，得到的矩阵会错误地混入两个坐标；这不是该系统的解算子。

0.2466 1.0000 1.0000 0.6977

逐项指数对照：[2.09, 3.45]。它通常不满足原系统的耦合结构。