变量替换与 Jacobian

二维线性变换的面积缩放

把 uv 平面的单位正方形送入线性变换，右侧的像平行四边形面积正好乘上雅可比行列式的绝对值。

T(u, v) = (a u + b v, c u + d v)

J = [a b; c d]，det(J) = ad - bc，面积因子 = |det(J)|。

ax 中的 u

bx 中的 v

cy 中的 u

dy 中的 v

det(J) 1

|det(J)| 1

面积因子 1 倍

取向 保持取向

观察重点：单位正方形面积为 1，所以右侧平行四边形面积直接等于 |det(J)|。当 det(J) 为负时，面积仍取绝对值，但图形的取向会反过来。

当前变换把每一小块面积放大为原来的 1 倍，并保持取向。