先要求一个条件
\[\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=p(x)\]
这等价于 \((\ln \mu)'=p\)。因此 \(p\) 的累积面积就是 \(\ln \mu\)。
常微分方程 I · 一阶线性方程与积分因子
积分因子推导实验室
选一个 \(p(x)\)，移动观察位置。目标只有一个：看见 \(\mu'(x)/\mu(x)=p(x)\) 怎样把左边凑成乘积求导。
参数控制
当前积分因子
当前 \(p(x)\)
0
当前 \(\mu(x)\)
0
当前 \(\mu'(x)\)
0
\(\mu'(x)/\mu(x)\) 与 \(p(x)\) 的差
0
面积积累为 \(\ln \mu(x)\)
阴影表示 \(\int_0^x p(t)\,dt\)。它进入指数函数后，就是我们选用的积分因子。
阴影面积
0
再乘回方程
原方程两边同乘 \(\mu(x)\)，中间那一项由条件改写成 \(\mu'(x)y\)。
最后识别乘积求导
\[\mu y'+\mu' y=(\mu y)'\]
于是 \(y'+p(x)y=q(x)\) 变成 \((\mu y)'=\mu q(x)\)，可以直接积分。