单位圆上的和差公式

和差公式验证器

拖动两个角，观察半径方向、角差弧线与两边数值是否同步。这里比较的是 cos(α - β) 和 cosα cosβ + sinα sinβ。

单位圆视图

角差弧线从 β 指向 α，长度表示 α - β 的主值方向。

α 半径 β 半径 α - β
1 -1 1 -1 x y α β α - β

角度调节

角差 α - β

主值弧线

左右两边数值对比

左边：cos(α - β)

右边：cosα cosβ + sinα sinβ

数值误差 |左边 - 右边|

计算机显示的微小误差来自浮点近似；在数学上，两边完全相等。

为什么不是“碰巧成立”

单位圆上角 θ 对应的点是 (cosθ, sinθ)。 两条半径的夹角是 α - β，它们的点积一方面等于 cos(α - β)，另一方面等于 cosα cosβ + sinα sinβ。 因此恒等式不是只在某些角成立，而是在定义域内总成立。