固定输入与最坏输入

拖动 N，看看同一输入的误差怎样下降，再找一个随 N 改变的最坏输入。

N=8

两种误差，同一个 N

算子范数误差固定 x 的实际误差目标 τ

曲线点取 N=0,…,30 的精确公式值，连线仅辅助阅读。拖动或点选；键盘方向键每次改变 1，Home / End 到两端。纵轴始终为 0–1。

输入完整输出截断输出

‖Dq−Dq⁽ᴺ⁾‖（最坏误差）在单位球上取上确界

‖(Dq−Dq⁽ᴺ⁾)x‖（固定 x）整个无限尾部的实际误差

固定 x 的尾部上界 rᴺ这是上界，一般不是实际误差

Dq eₙ = qⁿ⁻¹eₙ
xₙ = √(1−r²) rⁿ⁻¹，‖x‖₂=1
Dq⁽ᴺ⁾：只保留前 N 个输出坐标

改变 N 时，固定输入 x 保持不变。最坏输入却是 e₍N₊₁₎，它跟着 N 往后移动；不能把它当成同一支固定向量。

算子范数误差 = qᴺ
固定输入误差 = √(1−r²)(qr)ᴺ / √(1−q²r²)

N=0 表示一个坐标也不保留；本页取 q⁰=1，包括 q=0。D₀ 仍把 e₁ 留下来，所以它的秩是 1，不是零算子。N≥1 后，D₀ 的截断误差才等于零。

所有 q∈[0,1] 都满足 ‖Dq‖=1。对任意固定 x∈ℓ²，

‖(Dq−Dq⁽ᴺ⁾)x‖₂²
= ∑_n>N q²⁽ⁿ⁻¹⁾|xₙ|²
≤ ∑_n>N |xₙ|² → 0。

因此所有这些截断都强收敛。q<1 时，算子范数误差 qᴺ→0，Dq 是有限秩算子的范数极限，因而紧。q=1 时，D₁ 是恒等算子，单位向量 eₙ 的像彼此距离 √2，没有收敛子列，因此不紧。

图中只画有限坐标和 N≤30。关于所有坐标、N→∞ 与紧性的判断，来自这些级数与算子论论证。

先固定 x 再让 N 增大，与对每个 N 都重新挑选最坏的单位输入，是两种不同的量词顺序。