Riesz 表示 · 同一个泛函，换一种内积

系数没变，代表向量为什么动了？

单位边界当前单位输入 x / z代表向量 y / w核与 ±1 等值线

原坐标 x：加权单位椭圆

g₁x₁²+g₂x₂²=1

z=(√g₁ x₁, √g₂ x₂)

让 f(x)=c₁x₁+c₂x₂ 保持不变，改变内积的权重。拖动单位边界上的输入，比较两种算法给出的读数。

g₁：0.25 到 4

g₂：0.25 到 4

c₁：−3 到 3

c₂：−3 到 3

单位输入角 θ（°）

两图横纵轴都使用相同的单位长度；各图自动调整视窗以容纳完整向量。图中拖动会沿射线选择单位输入。触屏也可用角度滑块；图上左右键每次转动 1°。

代表向量 y

归一化代表 w

泛函范数 ‖f‖=‖y‖G

直接算 c₁x₁+c₂x₂

分别算 g₁x₁y₁+g₂x₂y₂

归一化后算 z·w

改变 g₁ 或 g₂ 后，先按系数对照重新计算，再核对图中的向量。零泛函也要单独考虑。

预测 y₁预测 y₂预测 ‖f‖

可填小数；近似答案按误差 ≤0.0005·max(1,|目标值|) 核对。

核对后保存。恢复记录会带回参数与输入角度，当前预测重新填写；记录保存在这次打开的页面中。

g₁y₁=c₁，g₂y₂=c₂
y=(c₁/g₁,c₂/g₂)
‖f‖²=c₁²/g₁+c₂²/g₂

逐项比较系数，才证明 f(x)=⟨x,y⟩G 对所有输入成立。移动一个单位输入是在核对计算；它本身不能替代这个证明。

在 x 坐标中，y 与 ker f 是加权正交，纸面上的角未必是 90°。变换到 z 坐标后，内积成为普通点积，w 才与画出的核直线成直角。这里始终使用实数坐标。