把下一个有理点留在区间外

每一步都挑一段更小的闭区间，把当前有理点排除在外。只缩短区间还不够：如果有理点恰好碰到端点，这次选择仍然失败。

空白表示回到 I₀。

有理点按分母从小到大排列，只保留既约分数；分母相同按分子从小到大。0 和 1 只出现一次。

当前层，放大看清楚

三段候选都严格留在父区间内部，长度都是父区间的 1/4。图中 1/8 等刻度表示相对位置 (x−a)/(b−a)。红线表示当前障碍点；若它在放大范围外，只报告位置，不把它挪到端点。

先预测：这次有几条可以选？

揭示只检查条件；选择合法候选，才会进入下一层。

端点判定，单独试一次

下面是一个判定练习。测试点 x 不是当前 qₙ，也不会改变你的轨迹。

每一层仍在原来的 [0,1] 内

已保留区间有限阶段的有理中心当前 qₙ

所有行共用 [0,1] 的刻度。区间很窄时可能小于一个像素，黄色点只标记有限中心，不放大区间宽度；请用左侧放大图区分端点。图高随层数增加，不裁掉后面的行。

换底空间，有限轨迹不变

  • 只完成有限层时，区间仍有正长度，不能据此宣布已经得到某个无理数。
  • 规则若无限继续，所有有理数最终都会轮到；长度 4⁻ⁿ 趋于零。
  • 极限是否属于底空间，正是实数模式与有理数模式的区别。
当前闭区间 Iₙ
当前中心 cₙ（有理数）
半径 rₙ

这里的中心是有限阶段的有理数，始终没有被标作“最终无理极限”。

任意后续保留点 y ∈ Iₙ：|y−cₙ| ≤ rₙ。
任意 m,k ≥ n：|cₘ−cₖ| ≤ 2rₙ = 4⁻ⁿ。

在实数中，如果这条合法轨迹无限继续，唯一交点同样满足上面的半径误差界。屏幕只显示有限区间和界，没有计算那个无限过程的最终点。

把轨迹存下来，比较两种空间

为什么总还能继续选

相邻候选只共享一个端点，三条没有共同点。一个障碍点最多同时落入两条候选，所以至少还有一条闭区间可以保留。

A=[a+L/8, a+3L/8]
B=[a+3L/8, a+5L/8]
C=[a+5L/8, a+7L/8]

所有包含判定都比较精确分数：左端点 ≤ qₙ ≤ 右端点便拒绝。小数和像素只用于显示，不参与接受或拒绝。

这是 Baire 嵌套构造的一维例子。有限次“成功避开”不等于已经避开全部有理数；完备性与无限构造共同支撑最后的存在结论。