实分析 I · 第 9 章 · 函数极限

ε-δ 调节器

对函数 f(x)=2x+1，在 a=1 处讨论极限 L=3。先由对方给出任意正的 ε，再选择一个正的 δ，使靠近 1 的 x 被函数值送入 3 的 ε 邻域。

当前可行选择

δ = 0.250 取 δ=ε/2

邻域同步图

绿色竖带表示 x 的 δ 邻域，玫红横带表示 f(x) 的 ε 邻域。

0 < |x-a| < δ |f(x)-L| < ε

调小 ε，目标区间会收窄；δ 随之自动收窄。

0.500

ε=0.10 ε=1.50

1. 任取一个 ε > 0

当前 ε = 0.500，要求函数值落在 (2.500, 3.500)。

2. 选择 δ = ε/2

若 0<|x-1|<δ，则 |f(x)-3|=2|x-1|<2δ=ε。

1.200

x 的邻域条件

|x-1| = 0.200 < δ = 0.250

函数值的邻域条件

|f(x)-3| = 0.400 < ε = 0.500

此 x 落在 δ 邻域内，因此函数值也落在 ε 邻域内。