CH01 · ARC LENGTH

同一条轨迹，能不能走出不同长度？

把单位圆的一圈交给一个“忽快忽慢”的参数来走。画面中的点速率会变化，但弧长积分是否也跟着改变？先看运动，再看两个数值读数。

速率随参数变化青线：固定轨迹红点：当前点弧长 = ∫|r′(t)|dt

红点的移动快慢不是长度本身；长度由整段速率积分决定。

推演

用 φ(t)=t+a sin t 改变参数。因为 φ′(t)=1+a cos t，当 a≤1 时仍不停止。观察速率会起伏，但总弧长保持 2π。

边界检查

当扭曲达到 a=1，某点瞬时速率为零，正则性失效；这不自动让轨迹消失，却提醒你不能直接使用单位切向量。

端点距离是 0，圆周长度却是 2π。两者回答的是不同问题。