全微分估计圆柱体体积误差

把半径和高度的测量误差放进 V=πr²h。拖动 r、h、dr、dh，观察精确变化 ΔV 与一阶近似 dV 的距离。

V = πr²h dV = 2πrh·dr + πr²·dh

误差如何传到体积

原测量半径误差高度误差

精确变化 ΔV = π(r+dr)²(h+dh) - πr²h

线性估计 dV = 2πrh·dr + πr²·dh

被忽略部分 ΔV - dV = 二阶及更高阶小量

半径 r 16 高度 h 29 半径误差 dr -0.800.80 高度误差 dh -1.501.50

原体积 V

精确变化 ΔV

全微分 dV

估计相对误差

半径项

高度项

二阶残差