常微分方程 I · Laplace 变换 II：阶跃、冲击与分段输入

Dirac δ 的窄脉冲极限

调节矩形脉冲的宽度 ε 和中心 a。红色脉冲的高度是 1/ε，宽度是 ε，所以面积始终为 1；当 ε 趋近 0，它对光滑测试函数 φ(t) 的作用就越来越像直接取样 φ(a)。

pε,a(t) = 1/ε，若 |t-a| ≤ ε/2

pε,a(t) = 0，其他位置

∫ pε,a(t) dt = ε · (1/ε) = 1

同一条时间轴上的两个观察

上方看脉冲面积，下方看它在窗口内对测试函数求平均。

矩形脉冲 φ(t) φ(a) 与窗口平均
Dirac delta 窄脉冲交互图 上图显示面积固定的矩形脉冲，下图显示测试函数以及脉冲窗口平均值逼近中心点取样值。
高度 1/ε 2.500
冲击面积 ε · 1/ε 1.000
脉冲作用 Iε(a) 0.000
中心取样 φ(a) 0.000

面积固定

Dirac δ 不是普通高度有限的函数。矩形脉冲模型抓住的是“总量”：宽度 ε 缩小时，高度 1/ε 同步升高，使冲击面积始终等于 1。

取样性质

对光滑测试函数，Iε(a)=∫pε,a(t)φ(t)dt 是窗口内平均值。窗口越窄，平均值越接近中心值 φ(a)。

ODE 中的冲击

在 Laplace 变换里，单位冲击常表示瞬时输入。对一阶方程或线性系统，关键不是“无限高”，而是这一次输入携带的面积。