复分析 I · 幂级数实验
加到第 N 项，还差多远？
在 z = 1 处，多加几项就很准；把 z 推近极点，速度会慢下来。先看观察点落在哪里，再看误差怎样随 N 改变。
保留 n = 0 到 9，共 10 项。
w = (z − c) / (p − c)
aₙ(z − c)ⁿ = σwⁿ / (p − c)
SN = Σn=0…N σwⁿ / (p − c)
aₙ(z − c)ⁿ = σwⁿ / (p − c)
SN = Σn=0…N σwⁿ / (p − c)
● 中心 c● 观察点 z× 极点 p
→ 各项与 SN◆ 真值 f(z)虚线：余项
实线：log₁₀ |Rₙ(z)|虚线：log₁₀ Bₙ
- 当前部分和 SN
- 函数真值 f(z)
- 精确余项 RN = f − SN
- 误差 |RN|
- 圆内统一上界 BN
- 起点误差 |R₀|
圆周上的真值，不能替级数证明收敛
只要 z ≠ p，有限几何和恒等式就给出 RN = [σ/(p − z)]wN+1。这里的余项公式在圆外也能计算，但只有 |w| < 1 时，余项才趋于零。
在较小闭圆盘 |ζ − c| ≤ r = |z − c| < R 上，每一点都满足 |RN(ζ)| ≤ |σ/(p − c)|qN+1/(1 − q)，其中 q = r/R。图中的上界针对这一整张闭圆盘。到了 q ≥ 1，这个上界停止适用。
试选 z = 2i。它在圆周上，函数真值存在，几何级数却仍发散，因为各项的模没有趋于零。z = 2 也是圆周上的点，但它恰好是极点，连函数真值都不存在。两种情况要分开说明。
默认 c = 0、z = 1、N = 9 时，S₉ = 1023/1024，真值为 1，误差与统一上界都是 1/1024 = 0.0009765625。N 从 0 开始计数，所以这里实际相加了 10 项。