微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 · 第 7 章 反常积分与收敛
comparison lab尾部像谁，积分就像谁
把待判别函数 f(x) 放到远处观察：若它和一个熟悉的 g(x) 有稳定比例，就可以把 g 的收敛性借过来；若只知道更小或更大，也要看这个比较是否足够有力。
有理尾部
f(x)=1/(x²+ax)
平方根尾部
f(x)=1/√(x²+a)
对数尾部
f(x)=1/(x(ln x)q)
函数族与尾部参数
观察点 R
待判别函数
远处比例读数
收敛
推荐 g(x)
1/x²
f(R)/g(R)
0.964
远处趋势
→ 1
因为 f/g 趋向正的有限常数，f 与 1/x² 有相同的尾部量级；而 ∫1/x² dx 收敛，所以原反常积分收敛。
判别理由
1
先看最高次：x²+ax 的主导项是 x²，因此选 g(x)=1/x²。
2
计算 f/g=x/(x+a)。当 x 越来越大，a 的影响被 x 吞没，比例趋向 1。
3
比较对象是 p=2 的 p 型积分，p>1，所以收敛。
极限比较最关心“远处是否保持同一量级”。前面有限一段可能弯曲，但不会改变反常积分在无穷远处的收敛性。