原空间
数据与重建
实心点是 x，空心点是 x̂；连线就是被丢掉的残差。
先看同一批点经历了什么
调高相关性，点云会更贴近一个低维方向；拉大方差比，各主成分的尺度差距会更明显。三维图使用固定等角投影，所有数值仍按完整三维坐标计算。
当前：三维数据保留前 2 个主成分，白化关闭。
PCA 得分空间
旋转并截断
保留 PC1–PC2；被丢弃的轴归零，仍保留 λ 的相对尺度。
白化空间
按 √λ 再缩放
白化关闭，因此这里与 PCA 得分图相同。
投影：得到坐标
z = Wₖᵀ(x − μ)
从原特征坐标转到前 k 条主轴，输出在得分空间。
重建：返回近似
x̂ = Wₖz + μ
回到原单位，但只包含保留子空间中的投影。
白化：改变尺度
zᵂⱼ = zⱼ / √λⱼ
仍在得分空间；它不是重建，也不保证一般分布下独立。
用数字核对几何变化
图形负责给直觉，矩阵负责对账。原协方差一般不是对角阵；PCA 得分的协方差是对角阵；开启白化后，保留部分应接近单位阵。
累计保留方差
—
Σ 前 k 个 λ / Σ 全部 λ
原空间重建 MSE
—
‖X − X̂‖²F / (样本数 × 维数)
最弱保留轴的相对拉伸
—
√(λ₁ / λₖ)，白化时才真正施加
协方差矩阵
数值用样本协方差除数 n − 1 计算。右表只列保留的 k 个坐标。
各主成分方差
条长以 λ₁ 为基准；“丢弃”只影响重建与输出，不会让该特征值从数据中消失。
小特征值检查
正在计算最小保留特征值与白化拉伸倍数。
别把三个词混在一起
投影回答“坐标是多少”
Wₖᵀ 把中心化样本写成 k 个主成分得分。它可以截断维度，但还没有回到原特征单位。
重建回答“近似长什么样”
WₖWₖᵀ 把样本正交投到保留子空间。k 小于原维度时，这是有损近似，残差不会凭空回来。
白化回答“各轴是否同尺度”
除以 √λⱼ 后，保留得分的样本方差变成 1。小 λ 对应更大拉伸，信号与噪声都会一起被放大。