非正则模型实验 · 07 / 2
最大值为什么跑得比 √n 更快？
先预测：把样本量增大四倍，最大观测值到真实上界的距离，是缩小为一半，还是约四分之一？
样本位置最大值 M：候选 θ 不得小于它无偏修正 (n+1)M/n
当前最大值 M
当前无偏修正估计单次估计可高于 θ
无偏修正的精确方差θ² / [n(n+2)]
用 n 放大剩余空隙，形状稳定下来
W=n(θ−M)/θ 的精确密度Exp(1) 极限密度当前样本的 W
精确分布给出 n 的速度
P(M≤m)=(m/θ)ⁿ，0≤m≤θ
P(W>w)=(1−w/n)ⁿ，0≤w≤n
固定 w 后，右边趋向 e⁻ʷ。这说明 n(θ−M)/θ 收敛到 Exp(1)，不是正态分布。无偏修正的标准差为 θ/√[n(n+2)]，量级约为 1/n。
常规证明在哪一步断开？
对观测值内部求导会得到得分 −n/θ，但它的期望不是零：改变 θ 同时改变了允许出现数据的区间。把导数换进积分时，移动边界项不能忽略。
不能把单次的 E(U²)=1/θ² 直接当作可相加的正则信息，从而套出“方差≥θ²/n”。这个所谓下界在这里无效；小于它不构成反例，真正失败的是正则条件。